Cálculo diferencial con aplicaciones

El libro que tiene en sus manos, consta de seis capítulos. En los capítulo 1, 2, 5 y 6, se plantean las siguientes temáticas: límites y continuidad, la derivada, coordenadas polares y antiderivadas. Además, se conceptualizan y demuestran los teoremas que son relevantes en el desarrollo teórico.

 

En los capítulos 3 y 4, al igual que en algunos de los mencionados anteriormente, se presentan algunas aplicaciones y una gran cantidad de ejemplos resueltos de las funciones, no solo algebraicas sino también trascendentes. Al final de cada capítulo, el lector encontrará una serie de ejercicios propuestos, con las respuestas respectivas que aparecen en las páginas finales del libro.

 

Para complementar el contenido se han insertado en los apéndices las principales identidades, necesarias para el uso adecuado del texto, de las funciones trigonométricas, las funciones hiperbólicas y las fórmulas de las áreas y volúmenes de las principales figuras geométricas.

 

Este texto es un propuesta del Proyecto Institucional `Permanencia con Calidad de la Universidad de Medellín, liderado por el Departamento de Ciencias Básicas, cuyo objetivo fundamental es ayudar a disminuir los niveles de deserción y pérdida académica de los estudiantes de la Institución. 

1.1            Límite de una función.

1.1.1         Aplicaciones.

1.2            Propiedades sobre los límites.

1.2.1         Cálculo  de los límites.

                1.2.2          Límites trigonométricos.

1.3          Límites laterales

1.4          Límites infinitos.

1.5          límites al infinito.

1.6          Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

1.7          Continuidad.

                1.7.1           Criterios de discontinuidad en un número

                1.7.2           Tipos de discontinuidad.

                1.7.3           Propiedades de continuidad.

                1.7.4           continuidad en un intervalo.

2.1          Rectas tangente y normal.

                2.1.1           Tangente.

                2.1.2           Recta normal a una curva.

2.2          Diferenciabilidad y continuidad.

2.3          Derivada de la función compuesta – Regla de la cadena.

                2.3.1           Derivadas de polinomios.

                2.3.2           Derivada de la compuesta – Regla de la cadena.

2.4          Derivación implícita.

2.5      Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas.

            2.5.1               Derivadas de las funciones trigonométricas.

            2.5.2               Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

2.6      derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

            2.6.1               Diferenciación logarítmica.

2.7      Derivadas de las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas.

2.8      derivadas de orden superior.

3.1      La derivada como razón de cambio.

3.2      Movimiento rectilíneo, velocidad y aceleración.

            3.2.1               Movimiento rectilíneo.

            3.2.2               Velocidad.

            3.2.3               Aceleración.

            3.2.4               Movimiento rectilíneo armónico simple.

3.3      Tasas relacionadas.

3.4      Aproximación de raíces mediante el método de Newton.

3.5      Valores extremos de una función.

            3.5.1               Máximos y mínimos relativos.

            3.5.2               Número crítico.

            3.5.3               Extremos absolutos.

3.6      Métodos para hallar extremos relativos y/o absolutos – teorema del valor extremo.

3.7      Teorema de Rolle y del  valor medio.

            3.7.1               Teorema de Rolle.

            3.7.2               Teorema del valor medio.

3.8      Funciones crecientes, decrecientes y criterio de la primera derivada.

3.9      Criterio de la segunda derivada.

            3.9.1               Concavidad y puntos de inflexión.

            3.9.2               Punto de inflexión.

3.10    Análisis matemático – grafico de una función.

4.1      Teorema del valor medio de Cauchy y la regla de L´Hopital.

            4.1.1               Teorema del valor medio de Cauchy.

            4.1.2               Regla de L´Hopital.

            4.1.3               Indeterminaciones de la forma   

4.2      Indeterminaciones de la forma , ,.

4.3      Aplicaciones del teorema el valor extremo.

4.4      Aplicaciones del criterio de la primera derivada.

4.5      Aplicaciones del criterio de la segunda derivada.

5.1      Relación entre los sistemas cartesiano y polar.

            5.1.1               Lecturas de un polar.

            5.1.2               Ecuaciones que relacionan los dos sistemas.

5.2      Problemas fundamentales.

            5.2.1               Problema directo.

            5.2.2               Problema recíproco.

5.3      Geometría analítica en coordenadas polares.

            5.3.1               Distancia entro dos puntos.

            5.3.2               La línea recta.

            5.3.3               La circunferencia.

            5.3.4               Cónicas.

            5.3.5               Limazones o caracoles.

            5.3.6               Lemniscatas o lemniscatos.

            5.3.7               Rosas o rosetas.

            5.3.8               Espirales.

            5.3.9               Intersecciones de gráficas polares.

5.4      Ecuación de la tangente en coordenadas polares.

5.5      Ángulo entre curvas.

6.1      Diferenciales.

            6.1.1               Interpretación geométrica.

            6.1.2               Aproximación lineal.

            6.1.3               Tipos de error.

            6.1.4               Error en la aproximación lineal.

            6.1.5               Fórmulas.

6.2      Antiderivadas.

            6.2.1               Reglas para integrar formas elementales.

            6.2.2               Listado de integrales elementales o inmediatas.

A.1      Valor absoluto.

A.2      Teorema de Weierstrass.

A.3      Identidades trigonométricas.

A.4      Identidades hiperbólicas.

A.5      Fórmulas de áreas y volúmenes.